Mấy tháng nay, dư luận xôn xao về chuyện nhà toán học thiên tài người Nga Grigory Perelman, người đã chứng minh được giả thuyết Poincaré, bài toán của thế kỷ, có thể sẽ từ chối nhận giải thưởng 1 triệu đôla của viện Clay. Cách đây bốn năm, chính ông cũng đã từ chối huy chương Fields, giải thưởng danh giá nhất dành cho các nhà toán học. Xung quanh chuyện này, Bee đăng lại bài dịch của dịch giả Phạm Văn Thiều do báo Sài Gòn Tiếp Thị giới thiệu.
Một buổi tối, ngày 20/6/2006, vài trăm nhà vật lý, trong đó có một người từng đoạt giải Nobel, tụ tập trong phòng họp của khách sạn Hữu Nghị ở Bắc Kinh để nghe một báo cáo của nhà toán học người Trung Quốc Shing-Tung Yau.
Vào cuối những năm 1970, khi chưa đầy ba mươi tuổi, ông đã có một loạt đột phá góp phần dẫn tới cuộc cách mạng của lý thuyết dây trong vật lý học và thêm vào đó ông đã được nhận huy chương Fields – một phần thưởng danh giá nhất trong toán học và ông trở nên nổi tiếng trong cả hai lĩnh vực (toán học và vật lý) như một nhà tư tưởng có khả năng kỹ thuật vô song.
Niềm tự hào của toán học Trung Quốc
Sau đó, Yau đã trở thành giáo sư toán của đại học Harvard, viện trưởng viện Toán học ở Bắc Kinh và Hong Kong, chia sẻ thời gian giữa Mỹ và Trung Quốc.
Bài giảng của ông ở khách sạn Hữu Nghị là một phần của hội nghị quốc tế về lý thuyết dây do ông tổ chức với sự hỗ trợ của Chính phủ Trung Quốc nhằm khích lệ những tiến bộ gần đây của nước này trong lĩnh vực vật lý lý thuyết. (Hơn 6 ngàn sinh viên tụ tập ở đại lễ đường Nhân dân để đợi được phát bản báo cáo chính của Stephen Hawking, một người bạn thân của Yau).
Không có nhiều người trong cử toạ biết về chủ đề bài giảng của Yau: đó là giả thuyết Poincaré, một bài toán hóc búa đã tồn tại một thế kỷ về những đặc trưng của các mặt cầu ba chiều, mà vì những hệ quả quan trọng của nó trong toán học và vũ trụ học, cũng như vì nó đã làm thất bại mọi ý đồ nhằm giải nó trong quá khứ, nên các nhà toán học coi nó như chiếc chén thánh.
Là một người đàn ông 57 tuổi, chắc nịch, đeo kính gọng đen, mặc chiếc sơmi ngắn tay, Yau đứng trên bục giảng, hai tay đút túi quần, kể về hai sinh viên của ông là Xi-Ping Zhu và Huai-Dong Cao đã hoàn tất chứng minh giả thuyết Poincaré chỉ mới ít tuần trước. “Tôi rất kỳ vọng vào công trình của Zhu và Cao”, Yau nói, “Các nhà toán học Trung Quốc hoàn toàn có đủ lý do để tự hào về một thành công lớn lao trong việc giải quyết được trọn vẹn một bài toán hóc búa như thế”.
Ông nói rằng Zhu và Cao phải hàm ơn một cộng sự lâu năm người Mỹ của ông là Richard Hamilton, người xứng đáng được coi là có uy tín nhất trong việc giải bài toán Poincaré. Ông cũng có nhắc tới Grigory Perelman, một nhà toán học Nga mà ông công nhận là đã có một đóng góp quan trọng.
Tuy nhiên, Yau nói: “Trong công trình của Perelman, mặc dù là rất đẹp, nhưng nhiều ý tưởng then chốt của chứng minh mới chỉ là những phác thảo, thường còn thiếu các chi tiết”.
Và ông nói thêm, “Chúng tôi rất muốn gặp Perelman để bàn thảo. Nhưng ông ta sống ở St. Petersburg và từ chối giao tiếp với những người khác”.
Nhà toán học Grigory Perelman đã từng từ chối giải thưởng danh giá
Trong suốt 90 phút, Yau thảo luận về một số chi tiết có tính kỹ thuật trong chứng minh của các học trò ông. Và khi ông kết thúc, không một ai có câu hỏi nào. Tuy nhiên, đêm đó, một nhà vật lý người Brazil đã đưa lên blog của ông cảm tưởng về bài giảng của Yau. “Nghe cứ như Trung Quốc sắp dẫn đầu trong lĩnh vực toán học đến nơi!”, ông viết.
Trao giải cho người Nga
Grigory Perelman quả thật là một người khó gần. Ông đã từ bỏ chức danh nghiên cứu viên tại viện Toán Steklov ở St. Petersburg, và ông cũng có rất ít bạn. Ông sống với mẹ trong một căn hộ ở ngoại ô thành phố. Mặc dù chưa bao giờ đồng ý phỏng vấn trước đó, nhưng ông là một người chân thành, cởi mở khi chúng tôi gặp ông, gần ngay sau hội nghị của Yau ở Bắc Kinh. “Tôi cũng có tìm kiếm một số người bạn, nhưng họ không nhất thiết phải là nhà toán học”, ông nói.
Một tuần trước khi bỏ phiếu, Perelman đã dành nhiều giờ để thảo luận về giả thuyết Poincaré với ngài John M. Ball, vị chủ tịch 58 tuổi của hiệp hội Toán học quốc tế (I.M.U.), một hội nghề nghiệp có ảnh hưởng nhất của lĩnh vực này. Cuộc gặp gỡ diễn ra tại một trung tâm hội nghị trong một ngôi nhà lớn uy nghiêm nhìn ra sông Neva, kể cũng thật khác thường.
Vào cuối tháng 5/2006, một uỷ ban gồm chín nhà toán học xuất sắc đã bỏ phiếu nhất trí trao cho Perelman huy chương Fields vì công trình của ông về giả thuyết Poincaré, và Ball đã phải cất công tới St. Petersburg để thuyết phục Perelman nhận giải trong một nghi lễ công khai tại đại hội tổ chức bốn năm một lần của hiệp hội Toán học quốc tế, diễn ra tại Madrid ngày 22/8/2006.
Huy chương Fields, giải thưởng được trao bốn năm một lần, cho từ hai đến bốn nhà toán học, với tiêu chí không chỉ ban thưởng cho những thành tựu trong quá khứ mà còn muốn kích thích những nghiên cứu trong tương lai, nên nó chỉ được trao cho những nhà toán học ở tuổi 40 hoặc trẻ hơn.
Trong mấy chục năm gần đây, khi số lượng các nhà toán học chuyên nghiệp tăng lên, huy chương Fields ngày càng trở nên có uy tín. Trong gần 70 năm trở lại đây, chỉ có 44 huy chương Fields đã được trao, kể cả ba công trình có liên quan gần gũi với giả thuyết Poincaré – và chưa có một nhà toán học nào từ chối giải thưởng này. Tuy nhiên, Perelman đã nói với Ball rằng ông không có ý định nhận nó, “Tôi từ chối”, ông chỉ nói ngắn gọn như vậy.
- Cuộc chạy đua thầm lặng
Shing-Tung Yau học toán tại trường đại học Trung Hoa ở Hong Kong. Tại đây ông đã được nhà toán học Trung Quốc xuất sắc là Shiing-Shen Chern chú ý và giúp ông nhận được học bổng của trường đại học California ở Berkeley.
Năm 1969 Yau bắt đầu làm nghiên cứu sinh ở Berkeley, ông đăng ký học bảy môn học mỗi học kỳ và dự thính một số môn học khác. Ông gửi một nửa số tiền học bổng về cho mẹ ở Trung Quốc và sự ngoan cường của ông đã khiến các giáo sư đặc biệt chú ý. Năm 1976 ông đã chứng minh được một giả thuyết tồn tại hơn 20 năm liên quan đến một loại đa tạp mà lúc đó rất quan trọng đối với lý thuyết dây. Một nhà toán học người Pháp tên là Calabi đã đưa ra chứng minh bài toán mà sau này được gọi là giả thuyết Calabi, nhưng bài toán của Yau là tổng quát hơn và mạnh hơn. (Các nhà vật lý hiện nay thường nói tới các đa tạp Calabi-Yau).
Kỳ vọng Poincaré
Năm 1980, khi mới 30 tuổi, Yau đã trở thành nhà toán học trẻ nhất được bổ nhiệm là thành viên của đội ngũ giảng dạy thường trực của viện Nghiên cứu cao cấp và ông đã bắt đầu thu hút được các tài năng. Hai năm sau ông giành được huy chương Fields và là người Trung Quốc đầu tiên đoạt giải thưởng này.
Harvard đã tìm mọi cách tuyển mộ Yau. Sau cùng, vào năm 1987, Yau đồng ý đến làm việc tại Harvard. Sau đó Yau mở rộng sự hợp tác với các đồng nghiệp và sinh viên. Ngoài việc tiến hành các nghiên cứu riêng của mình, ông bắt đầu tổ chức các xêmina. Ông thường liên kết với các nhà toán học có đầu óc đặc biệt sáng tạo. Nhưng ấn tượng mạnh mẽ nhất đối với Yau là Hamilton, vì sự ngông nghênh và óc tưởng tượng tuyệt vời của ông ta. Yau tin rằng Hamilton có thể sử dụng phương trình dòng Ricci để chứng minh các giả thuyết Thurston và Poincaré, nên ông đã hối thúc Hamilton tập trung giải quyết bài toán đó.
Yau tin rằng nếu như ông có thể giúp để giải được bài toán Poincaré thì đó không chỉ là một chiến công đối với ông mà còn đối với cả đất nước Trung Quốc. Vào giữa những năm 1990, Yau và một số học giả Trung Quốc đã bắt đầu có những cuộc gặp gỡ với Giang Trạch Dân (lúc đó là Tổng bí thư Đảng Cộng sản Trung Quốc) để thảo luận làm thế nào xây dựng lại các viện nghiên cứu ở trong nước vốn đã bị tàn phá nặng nề trong thời kỳ Cách mạng văn hoá. Yau đã thuyết phục một đại gia về bất động sản ở Hong Kong tài trợ cho viện Toán thuộc viện Hàn lâm khoa học ở Bắc Kinh và cấp tiền để lập ra một huy chương theo kiểu huy chương Fields để trao cho các nhà toán học Trung Quốc dưới 45 tuổi. Trong những chuyến về thăm Trung Quốc, Yau đã giới thiệu Hamilton và các công trình hợp tác của hai người về dòng Ricci và giả thuyết Poincaré như là một mẫu mực cho các nhà toán học trẻ ở Trung quốc. Như ông đã nói công khai ở Bắc Kinh, “Họ luôn mồm nói rằng toàn bộ đất nước cần phải học tập Mao Chủ tịch hay một số anh hùng vĩ đại nào đấy. Nên tôi nửa đùa nửa thật nói với họ rằng cả nước nên học tập Hamilton”.
Bài toán cuộc đời
Giả thuyết Poincaré được Poincaré nêu ra hơn 100 năm trước, gần như năm nào cũng có những thông báo về chứng minh giả thuyết này. Nhà toán học Poincaré là em họ của Raymond Poincaré, tổng thống của nước Pháp trong thời gian Thế chiến lần thứ nhất, và cũng là một trong số những nhà toán học sáng tạo nhất của thế kỷ 19. Là một người mảnh khảnh, cận thị, và nổi tiếng là đãng trí, Poincaré đã thai nghén bài toán nổi tiếng của mình vào năm 1924, tám năm trước khi ông qua đời. Ông đặt nó vào cuối một bài báo dài 65 trang như một vấn đề bộc phát.
Grigory Perelman cũng đã học tập Hamilton. Vào năm 1993, ông nhận được học bổng hai năm ở Berkeley. Trong thời gian ông ở đó, Hamilton đã có một số buổi thuyết trình tại khu đại học và trong một lần, ông có nói rằng ông đang nghiên cứu về giả thuyết Poincaré. Chiến lược dòng Ricci của Hamilton là cực kỳ kỹ thuật và rất khó thực hiện. Sau một buổi thuyết trình ở Berkeley, Hamilton có nói với Perelman về trở ngại lớn nhất của ông ta. Khi một không gian được là trơn bởi dòng Ricci, một số vùng biến dạng thành cái mà các nhà toán học gọi là các điểm kỳ dị. Một số vùng, gọi là “cổ chai”, trở thành những vùng có mật độ vô hạn. Khó khăn nhất đối với Hamilton là loại kỳ dị mà ông gọi là “điếu xìgà”. Nếu như nó xuất hiện, thì Hamilton lo ngại rằng sẽ không thể có được một hình học đều đặn. Perelman thấy rằng bài báo mà ông đã viết về các không gian Alexandrov có thể sẽ giúp Hamilton chứng minh được giả thuyết Thurston – và do đó có cả giả thuyết Poincaré – nếu như Hamilton giải được “bài toán xìgà”. “Có lúc tôi đã hỏi Hamilton có biết một kết quả mà tôi đã chứng minh nhưng chưa công bố – mà bây giờ hoá ra rất hữu ích không”, Perelman nói, “Nhưng sau đó tôi nhận thấy rằng ông đã không hiểu điều tôi nói”.
Vào cuối năm đầu tiên ở Berkeley, Perelman đã viết được một số bài báo hết sức căn bản và độc đáo. Ông được mời đọc báo cáo tại đại hội của I.M.U. vào năm 1994 tại Zurich, Thuỵ Sĩ cùng với một loạt lời mời làm việc tại Stanford, Princeton, viện Nghiên cứu cao cấp và đại học
Tel Aviv. Cũng như Yau, Perelman là một tay chuyên giải toán vĩ đại. Perelman nói với chúng tôi rằng ông thích làm việc trên vài bài toán đồng thời. Tuy nhiên, ở Berkeley ông thấy mình cứ trở đi trở lại với phương trình dòng Ricci của Hamilton và bài toán mà Hamilton nghĩ rằng mình sẽ giải được nhờ phương trình đó.
Cuối cùng ông đã nhận được một số lời mời làm việc. Nhưng ông đều từ chối tất cả và vào mùa hè năm 1995, ông trở về St. Petersburg với công việc cũ của ông ở viện Steklov, nơi ông được trả lương chưa đầy 100 đôla một tháng.
Ở tuổi 29, Perelman đã xác lập được một cách vững chắc vị thế một nhà toán học của mình và đã gỡ bỏ hầu hết những trách nhiệm nghề nghiệp. Ông tự do theo đuổi bất cứ bài toán nào mà mình muốn và ông cũng biết rằng công trình của ông, nếu ông chọn để công bố chúng, đều sẽ được quan tâm một cách nghiêm túc. Yakov Eliashberg, một nhà toán học ở Stanford, người đã quen biết Perelman ở Berkeley, nghĩ rằng ông quay trở về Nga là để nghiên cứu bài toán Poincaré. “Tại sao lại không chứ?”, Perelman nói, khi chúng tôi hỏi ông linh cảm của Eliashberg có đúng không.
- Tuyên chiến
Vào tháng 11.2002, Yau nhận được một email từ một nhà toán học Nga mà tên tuổi của người đó ông còn chưa kịp ghi nhận. Bức thư nói: “Xin được gửi tới ông bài báo của tôi”.
Hôm 28.3.2010, viện toán học Clay công bố trao giải Millennium cho G. Perelman về bài giải giả thuyết Poincaré.
Ngày 11.11 năm đó, Perelman đã đưa lên mạng bài báo 39 trang với nhan đề “Công thức entropy đối với dòng Ricci và những áp dụng của nó trong hình học” trên địa chỉ arXiv.org, một trang web chuyên dùng của các nhà toán học để giới thiệu các bài báo trước khi được công bố trên các tạp chí chuyên ngành (preprint). Sau đó, Perelman gửi bản tóm tắt của bài báo đó theo email cho hơn 10 nhà toán học ở Mỹ, trong đó có Hamilton, Yau và Giang Tian – không có ai trong họ đã nghe nói về ông nhiều năm nay.
Trong bản tóm tắt đó ông đã giải thích rằng ông đã viết một bản phác thảo về “chứng minh có tính chiết trung” của giả thuyết hình học hoá”.
Vượt rào
Perelman không nhắc gì đến chứng minh mà cũng không đưa nó cho ai xem. “Tôi không có những người bạn để bàn luận về chứng minh đó”, ông nói ở St. Petersburg. “Tôi không muốn thảo luận công trình của tôi với người mà tôi không tin cậy”. Việc Perelman đã đưa hú hoạ chứng minh của một giả thuyết nổi tiếng nhất trong toán học lên mạng là sự coi thường những quy ước trong học thuật, nhưng ông cũng đã phải chịu một sự mạo hiểm đáng kể.
Nếu chứng minh là sai, ông sẽ bị sỉ nhục một cách công khai và không có cách nào để ngăn cản một nhà toán học khác tìm ra những sai sót và công bố chiến công của mình. Nhưng Perelman nói rằng ông hoàn toàn không quan tâm. “Lý luận của tôi là thế này: nếu tôi phạm sai lầm và có ai đó dùng công trình của tôi để xây dựng được một chứng minh đúng thì tôi cũng rất hài lòng”, ông nói. “Tôi không bao giờ phô trương là người duy nhất giải được bài toán Poincaré cả”.
Gang Tian (một nhà toán học người Hoa, được xem là đối thủ của Yau) nhận được email của Perelman khi ông đang ở phòng làm việc của mình ở MIT (học viện công nghệ Massachusetts – Mỹ). Ông và Perelman đã rất thân thiện vào năm 1992, khi cả hai ở ĐH New York và hàng tuần đều cùng dự một xêmina toán ở Princeton. “Tôi ngay lập tức nhận thấy tầm quan trọng của nó”, Tian nói về bài báo của Perelman.
Thực tế cái mà Perelman đưa lên mạng chỉ là đợt đầu tiên, nhưng nó đủ để các nhà toán học thấy rằng ông đã hình dung ra phải giải bài toán Poincaré như thế nào. Perelman đã chứng minh rằng các “điếu xì gà” từng gây khó khăn cho Hamilton, có thể không thực sự xảy ra và ông cũng chứng tỏ được rằng bài toán “các cổ chai” cũng sẽ giải quyết được.
“Nếu như ông ta vỗ ngực tuyên bố: “Tôi đã giải được nó” thì chắc chắn ông ta sẽ nhận được một sự chống lại ghê gớm”.
Nhà toán học Frank Quinn, Virginia Tech
Tian bèn viết thư cho Perelman đề nghị ông tới MIT giảng về bài báo của mình. Các đồng nghiệp ở Princeton và Stony Brook cũng đưa ra những lời mời tương tự. Perelman chấp nhận tất và đặt mua vé đi một tháng thỉnh giảng bắt đầu từ tháng 4.2003. “Tại sao lại không?”, ông nhún vai nói với chúng tôi.
Chuyến thỉnh giảng tháng 4 của Perelman được các nhà toán học và báo giới coi như một sự kiện lớn. Rất nhiều người ngồi nghe vô cùng ngạc nhiên khi không thấy Perelman nói gì về giả thuyết Poincaré cả. Frank Quinn, một nhà toán học thuộc Virginia Tech, nói. “Ông ta bắt đầu từ một số điểm then chốt và những tính chất đặc biệt, rồi sau đó trả lời các câu hỏi. Ông ta đã xác lập được sự tin cậy. Nếu như ông ta vỗ ngực tuyên bố: “Tôi đã giải được nó” thì chắc chắn ông ta sẽ nhận được một sự chống lại ghê gớm”.
Phản pháo
Hamilton và Yau sững sờ trước thông báo của Perelman. “Chúng tôi cảm thấy rằng không một ai khác có khả năng tìm ra lời giải”, Yau nói với chúng tôi ở Bắc Kinh. “Nhưng sau đó vào năm 2002, Perelman lại thông báo rằng ông ấy công bố một điều gì đó. Về cơ bản ông ta làm theo một lối tắt trực tiếp hơn chứ không làm tất cả những đánh giá chi tiết như chúng tôi”. Hơn thế nữa, Yau phàn nàn, “chứng minh của Perelman được viết rất lộn xộn mà chúng tôi không sao hiểu được”.
Vào những năm 1960 – 1970, tôpô học đã trở thành một trong những lĩnh vực sinh sôi mạnh nhất của toán học và các nhà tôpô học trẻ tuổi thường xuyên công phá giả thuyết Poincaré. Điều kinh ngạc đối với phần lớn các nhà toán học là các đa tạp 4, 5 và có số chiều cao hơn hoá ra lại dễ chứng minh hơn các đa tạp ba chiều. Vào năm 1982, giả thuyết Poincaré đã được chứng minh với tất cả các số chiều, chỉ trừ có trường hợp ba chiều. Năm 2002, viện toán Clay, một cơ sở tư nhân nhằm khích lệ các nghiên cứu toán học, đã tuyên bố giả thuyết Poincaré là một trong bảy bài toán quan trọng và nổi bật nhất trong toán học và đã đặt ra giải thưởng một triệu đôla cho bất cứ ai chứng minh được nó.
Trong số ra ngày 18.4.2003 của tạp chí nổi tiếng Science, Yau có đăng một bài báo có nói về chứng minh của Perelman: “Nhiều chuyên gia, nhưng không phải tất cả, dường như đã tin rằng Perelman đã thoát được ra khỏi các “điếu xì gà” và thuần dưỡng được các “cổ chai hẹp”. Nhưng về chuyện ông kiểm soát được số các phẫu thuật thì người ta ít tin tưởng hơn. Điều đó chứng tỏ có thể có một lỗi nghiêm trọng, Yau cảnh báo, khi lưu ý rằng rất nhiều những nỗ lực chứng minh khác của giả thuyết Poincaré đều đã từng vấp phải những bước thiếu hụt tương tự”.
Những chứng minh này phải được xem xét một cách hoài nghi cho đến khi các nhà toán học có cơ hội xem xét nó một cách thật kỹ lưỡng, Yau nói với chúng tôi. Cho đến chừng nào, ông nói, “nó không phải là toán nữa mà là tôn giáo”.
Vào giữa tháng 7.2003, Perelman đã đưa lên mạng hai phần cuối cùng của chứng minh của mình và các nhà toán học bắt đầu kiểm tra các bước chứng minh của ông một cách hết sức thận trọng. Ở Mỹ ít nhất có tới hai nhóm chuyên gia nhận làm chuyện này: Gang Tian và John Morgan; và một cặp các nhà nghiên cứu ở đại học Michigan. Cả hai dự án này đều nhận được sự hỗ trợ của viện Clay.
Viện này còn có ý định sẽ công bố công trình của Tian và Morgan dưới dạng một cuốn sách. Cuốn sách, ngoài việc hướng dẫn các nhà toán khác theo dõi được lôgic của Perelman, nó còn là một căn cứ để xét xem có trao cho Perelman giải thưởng một triệu đôla của viện này vì đã giải được bài toán Poincaré hay không. (Để được chọn, chứng minh phải được công bố trên một tạp chí được phản biện nghiêm ngặt và phải chịu được hai năm săm soi của cộng đồng toán học quốc tế).
Perelman nói với chúng tôi: “Tôi không quá lo lắng nhiều cho mình. Đây là một bài toán nổi tiếng. Một số người cần có thời gian để quen với thực tế là đây không còn là một giả thuyết nữa. Cá nhân tôi đã quyết định với mình rằng mình nên tránh xa việc kiểm chứng và không nên tham gia vào tất cả các cuộc gặp gỡ đó. Điều quan trọng đối với tôi là không làm nhiều ảnh hưởng đến quá trình đó”.
