Rủi ro tín dụng mô hình Merton
Rủi ro tín dụng (credit risk) tức là rủi ro về việc người cho vay (giữ các loại trái phiếu, tín phiếu, …) không đòi được nợ vì người vay mất khả năng trả nợ. Do có rủi ro tín dụng, nên giá trị của các khoản nợ bị giảm đi so với là nếu không có rủi ro, và lãi suất của chúng cao hơn lãi suất không có rủi ro. Các mô hình toán tài chính cho phép đánh giá các mức độ rủi ro tín dụng và giá trị của các khoản tín dụng có rủi ro.
Mô hình Merton
Mô hình đơn giản nhất về rủi ro tín dụng được Merton đưa ra vào năm 1974. Vì nó quá đơn giản, nên nó không dùng được trực tiếp trong thực tế, nhưng nó cho phép giải thích nhiều hiện tượng, và làm cơ sở cho các mô hình khác được dùng để tính toán rủi ro tín dụng trong thực tế.
Trong mô hình Merton, có 1 công ty trách nhiệm hữu hạn mà giá trị tài sản (assets, tức là kể cả nợ) tại các thời điểm ký hiệu là , và có một khoản nợ duy nhất phải trả một lần duy nhất một lượng bằng tại mộ t thời điểm trong tương lai.
Tại thời điểm , có 2 tình huống xảy ra:
* Hoặc là , khi đó công ty trả được nợ, và phần chủ sở hữu còn lại sau khi đã trả nợ là . Bên cho công ty vay nợ lấy lại được toàn bộ số tiền theo hợp đồng vào thời điểm
* Hoặc là , khi đó công ty vỡ nợ, chủ sở hữu của công ty mất toàn bộ công ty, và bên cho vay chỉ lấy lại được khoản tiền là thay vì .
Như vậy, nếu ta gọi là giá trị của khoản nợ vào thời điểm , thì ta có:
còn giá trị của công ty (sau khi đã trừ nợ) là thỏa mãn công thức:
Các công thức trên cho thấy chính bằng giá trị tại thời điểm của một call option kiểu Âu với strike price , thời điểm đáo hạn , cho tài sản của công ty. Theo nguyên lý call-put parity, ta có thể viết
trong đó là lãi suất log (lãi kép liên tục) không rủi ro, còn là giá của put option kiểu Âu với strike price , thời điểm đáo hạn , cho tài sản của công ty.
Để tính giá trị của và , Merton dùng mô hình Black-Scholes cho giá option kiểu Âu. Từ đó ta có công thức Black-Scholes cho giá trị của khoản nợ, với thêm hai tham số: lãi suất không rủi ro, và volatility của .
(Tôi sẽ không viết lại công thức Black-Scholes ở đây).
Nếu ta viết thì tức là là lãi suất (có rủi ro) của khoản nợ tại thời điểm . Độ chênh lệch gọi là credit spread (chênh lệch lãi suất), và rủi ro tín dụng càng cao thì chênh lệch lãi suất càng lớn.
Một số hệ quả đơn giản mà quan trọng:
* , trong đó chính là giá trị của khoản vay vào thời điểm nếu như không có rủi ro. Độ chênh lệch chính bằng giá trị của Put kiểu Âu.
* Volatility càng lớn thì rủi ro tín dụng càng cao, chênh lệch lãi suất càng lớn, và giá trị của khoản nợ càng giảm
* Thời điểm đáo hạn càng xa thì rủi ro càng cao.
* càng thấp thì rủi ro tín dụng cũng càng cao.
Chú ý là, trong mô hình Merton, với giả sử các biến khác không đổi, thì khi tiến tới 0 (thời điểm hiện tại) chênh lệch lãi suất cũng tiến tới 0, tức là nếu vay rất ngắn hạn thì có thể coi là không có rủi ro. (Đây là một điều không sát lắm với thực tế). Còn khi tiến đến vô cùng, thì chênh lệch lãi suất không tiến đến vô cùng mà chỉ tiến đến một mức hữu hạn nào đó.
Rủi ro tín dụng Mô hình KMV
KMV là viết tắt tên của 3 người: Stephen Kealhofer, John McQuown and Oldrich Vasicek. Ba ông này thành lập ra công ty KMV vào năm 1989 về quản lý rủi ro, và phát triển mô hình KMV trong những năm 1990. Hiện tại KMV do công ty Moody’s nắm giữ. Đây là một mô hình được giới tài chính dùng rất phổ biến: vào năm 2004 có 40 trong số 50 tập đoàn tài chính lớn nhất thế giới có đăng ký sử dụ mô hình này. Về mặt lý thuyết thì nó là mở rộng không có gì phức tạp lắm của mô hình Merton, nhưng sức mạnh của nó nằm ở công cụ tính toán thực nghiệm và testing dựa trên một cơ sở dữ liệu lớn của KMV.
Đại lượng trọng điểm trong mô hình KMV là xác suất vỡ nợ, gọi là EDF (expected default frequency). EDF là xác suất (theo các con số thực tế) mà một công ty sẽ vỡ nợ (default) trong vòng 1 năm theo phương pháp tính toán của KMV.
Trong mô hình Merton, thì vỡ nợ xả ray trong trường hợp (tức là giá trị tài sản của công ty sau 1 năm nhỏ hơn số tiền phải trả sau 1 năm), và xác suất để điều đó xảy ra là:
với giả sử giá trị tài sản của công ty thỏa mãn phương trình vi phân ngẫu nhiên
Ở đây là hàm phân phối xác suất toàn phần của phân bố normal chuẩn tắc.
Trong mô hình KMV, thì EDF có cấu trúc tương tự như là trong mô hình Merton, thế nhưng hàm EDF này được tính bằng các dữ liệu thực nghiệm thay vì tính qua công thức sử dụng phân bố normal chuẩn tắc và volatility.
Ước lượng giá trị tài sản
Một điểm khác biệt nữa của mô hình KMV so với Merton là, trong mô hình KMV, đại lượng (giá trị tại sản của công ty tại thời điểm ban đầu) không được coi là có thể quan sát trực tiếp được (vì các con số trong sổ sách kế toán nhiều khi không phản ánh được đúng giá trị), mà nó được ước lượng thông qua giá trị của các đại lượng khác, như là equity của công ty, là thứ dễ đánh giá hơn (equity đánh giá theo market cap của công ty trên thị trường chứng khoán !). Phương pháp KMV để ước lượng từ là dùng phép lặp (iteration).
Ví dụ, theo mô hình Merton, ta có thể viết như là một hàm số:
( là giá cả call kiểu Âu tính theo công thức Black-Scholes)
Giả sử ta đã biết (cho một khoảng thời gian nào đó). Để tính ngược lại được theo công thức trên thì cần biết thêm . Nhưng ta chưa biết bằng bao nhiêu, nên ta bắt đầu bằng một đại lượng nào đó, lắp vào công thức trên tính ra được các giá trị của , rồi tính ra được mới (= volatility thực nghiệm) theo các đại lượng đó của , lắp mới đó vào công thức, ta lại được một dãy giá trị mới của , rồi cứ tiếp tục như vậy. (Phương pháp iteration này tương tự như phương pháp Newton để tìm nghiệm của phương trình; ở đây ta phải tìm được sigma sao cho V tương ứng có độ lệch chuẩn thực nghiệm đúgn bằng sigma).
Phương trình dùng trong thực tế phức tạp hơn là phương trình theo công thức Black-Scholes phía trên, vì cấu trúc của các công ty trong thực tế phức tạp hơn nhiều là chỉ có 1 khoản nợ như là trong mô hình Black-Scholes, nhưng cách tính vẫn là như vậy, dùng iteration để giải phương trình hàm ẩn và tính ra và .
Tính EDF
Sau khi đă tính được và , mô hình KMV thiết lập một đại lượng sau, gọi làdistance to default (DD — khoảng cách đến vỡ nợ):
Ở đây không phải là toàn bộ số nợ của công ty, mà chỉ là default threshold, tức là số nợ ảnh hưởng đến việc vỡ nợ trong 1 năm, trong 1 năm nếu khôn trả được số tiền đó thì vỡ nợ.
Ý tưởng của KMV là có thể coi EDF như là hàm của DD: nếu DD càng lớn thì xác suất vỡ nợ trong 1 năm càng thấp. Hàm này được tính từ thự nghiệm (bằng số hãng có cùng DD bị default trong 1 năm chia cho tống số hãng có cùng DD) dựa trên cơ sỡ dữ liệu của KMV.
Ví dụ.
Ví dụ này là về công ty Philip Morris vào năm 2001, lấy từ Crosbie & Bohn (2002) (có trên trang web www.kmv.com)
Market value of equity S_0: 111680 (triệu USD) (market cap theo giá thị trường)
Overall book liabilities B: 64062 (từ sổ sách kế toán)
Market value of assets V_0: 170558
Volatility sigma_V: 0.21
(hai đại lượng này tính theo phương pháp iteration của KMV)
Default threshold: 47499 (nợ phải trả trong 1 năm)
DD: 3.5
EDF (1 năm): 0.25%
(có nghĩa là tính theo thực nghiệm, thì các công ty có DD= 3.5 sẽ có EDF = 0.25%)
Bài tập:
Vì sao trong ví dụ trên ta có ?
Câu hỏi thắc mắc:
Tại sao KMV lại tính DD như trên, mà không phải là chia cho thay vì chia cho có phải hợp lý hơn không ?! Tức là tại sao không dùng công thức
?!
Rủi ro tín dụng Mô hình chuyển hạng tín dụng
Chuyển hạng tín dụng (credit migration) là việc cho credit rating cho các công ty và thay đổi credit rating của công ty theo thời gian tùy theo sự tốt lên hay tồi đi của tình hình tài chính của công ty. Mô hình được dùng phổ biến trong thực tế về credit migration gọi là CreditMetrics của JPMorgan và RiskMetrics Group.
Trong mô hình này, ta có một ma trận credit migration matrix: các phần tử trong đó là các xác suất (tần số) để một công ty đang được xếp hạng credit rating này chuyển sang hạng credit rating khác sau 1 năm. Ví dụ, xác suất để 1 công ty từ hạng BB lên hạng BBB sau 1 năm là 7.73%.
Có thể xem ma trận này trong trang 339 của quyển sách McNeil/Frey/Embrechts (tôi lười không copy lại đây). Xác suất giữ nguyên hạng là cao nhất (từ 65% đến 91% tùy vào là hạng gì) còn các xác suất lên hạng đều thấp (cao nhất là lên từ CCC thành B, được 11%, tức là có 11% số công ty “gần chết” ngoi lên thành “thoi thóp lại” sau 1 năm, trong khi đó 20% số công ty “gần chết” sau 1 năm thành “chết hẳn”).
Theo mô hình này, thì việc chuyển hạn tuân theo nguyên tắc xích Markov, có nghĩa là để tính ma trận chuyển hạng tín dụng sau N năm, chỉ việc lấy lũy thừa bậc N của ma trận 1 năm.
Một điều thú vị theo mô hình này là, khi N tiến tới vô cùng, thì xác suất phá sản tiến tới 1 (dù cho credit rating ban đầu có là AAA). Điều này hợp với thực tế, vì trong số các hãng lớn cách đây 1 thế kỷ, chỉ còn rất ít hãng tồn tại nguyên hình vào thời điểm hiện tại (trong khi đó thì phần lớn các hãng lớn hiện tại còn tương đối trẻ). In the long term, we are all dead
Rủi ro tổng hợp: độ đo rủi ro nhất quán
Bài này tóm tắt một số ý trong Chương 6 của sách McNeil/Frey/Embrechts về quản lý rủi ro.
Rủi ro tổng hợp (aggregate risk) được hiểu ở đây là rủi ro của một rổ tài sản, tổng hợp lại từ các rủi ro của các tài sản trong rổ.
Một trong những vấn đề đặt ra là xây dựng các thước đo rủi ro tổng hợp thế nào ?
Coherent risk measure
Artzner et al. đưa ra khái niệm coherent risk measure (độ đo rủi ro nhất quán) như là các thước đo rủi ro tổng hợp trong một bài báo vào năm 1999: Artzner, Philippe; Delbaen, Freddy; Eber, Jean-Marc; Heath, David (1999). “Coherent Measures of Risk” (pdf).Mathematical Finance 9 (3): 203–228.http://www.math.ethz.ch/~delbaen/ftp/preprints/CoherentMF.pdf, và từ đó khái niệm này đã trở thành một khái niệm quan trọng trong lý thuyết quản lý rủi ro.
Ý tưởng như sau:
Giả sử ta có một rổ tài sản và vay nợ (assets & liabilities, ví dụ như ngân hàng vừ đi vay vừa cho vay, hay là nhà đầu tư vay tiền mua chứng khoán, hay là công ty vừa có assets vừa có liabilities), ta sẽ gọi là V. Vào một thời điểm tương lai, thì rổ tài sản và vay nợ của ta có thể bị lỗ, tùy theo tình huống xảy ra. Ta sẽ thiết lập một biến ngẫu nhiên (trên một mô hình không gian xác suất nào đó) cho độ lỗ của rổ tài sản/vay nợ ( , tình huống nào mà không bị lỗ thì ). Câu hỏi đặt ra là, với giả sử ta đã biết biến ngẫu nhiên (tức là biết phân phối xác suất của nó), hỏi rằng equity của ta trong rổ tài sản/nợ phải tối thiểu là bao nhiêu thì “chấp nhận được” (theo nghĩa đảm bảo an toàn, ở mức độ hợp lý nào đó) ?
Ví dụ như, các công ty chứng khoán cho nhà đầu tư vay để mua chứng khoán, nhưng có đặt các định mức là chỉ được vay đến mức nào đó thôi nếu có bao nhiêu tiền và mua những loại chứng khoán gì. Tài khoản mà bị vay quá mức chấp nhận được (không còn đủ mức an toàn nữa đối với công ty chứng khoán, có nguy cơ giá trị về âm), thì nhà đầu tư phải nộp thêm tiền vào hoặc bán bớt các chứng khoán trong tài khoản đi để trả nợ.
Như vậy, với mỗi biến ngẫu nhiên dạng “độ lỗ của 1 tài khoản trong các tình huống” ta cần xác định được một số nào đó, là equity tối thiểu chấp nhận được của tài khoản. Nếu với mỗi ta xác định được trên một tập hợp các biến ngẫu nhiên dạng “độ lỗ của một tài khoản”, thì tức là ta có một hàm số trên tập hợp đó. Nếu như equity của tài khoản mà vượt quá , thì có thể hiểu như là tài khoản đang “thừa margin” và có thể rút bớt một phần tiền ra khỏi tài khoản vẫn chấp nhận được. Còn nếu equity thấp hơn thì phải rót thêm tiền mặt vào tài khoản cho đủ yêu cầu về margin.
Người ta giả sử là một tập hình nón lồi (tức là nếu và thuộc và là hai số dương thì cũng thuộc , vì ta hình dung là có thể tạo một tài khoản mà biến “độ lỗ” của nó chính bằng ).
Một hàm như trên được gọi là một độ đo rủi ro nhất quán (coherent risk measure) nếu nó thỏa mãn 4 tiên đề sau:
Tiên đề 1. (Translation invariance). Nếu là một hằng số thì
Ý nghĩa của tiên đề này khá hiển nhiên: nếu biết chắc chắn sẽ bị lỗ thêm một khoản nữa, thì phải bỏ thêm một lượng tiền vào tài khoản để bù lại. (Ở đây lãi suất bị bỏ qua ?!)
Tiên đề 2. (Subadditivity). Với tùy ý ta có
Ý nghĩa tiên đề này cũng khá hiển nhiên: nếu ta có 2 tài khoản đề thỏa mãn yêu cầu về margin, và ta gộp lại coi chúng như là 1 tài khoản gồm 2 phần, thì tài khoản gộp lại như vậy cũng thỏa mãn yêu cầu về margin.
Tiên đề 3. (Positive homogeneity). Nếu là một hằng số thì
Ý nghĩa của nó, nói một cách nôm na, là nếu ta nhân đôi tài khoản lên, thì độ rủi ro cũng tăng lên gấp đôi, và do đó yêu cầu về margin cũng tăng gấp đôi.
Tiên đề 4. (Monotonicity). Nếu (trong hầu hết mọi tình huống), thì ta cũng có
Ý nghĩa của tiên đề 4 cũng khá hiển nhiên.
Ví dụ:
Value at risk (VaR) không phải là một độ đo rủi ro nhất quán, vì nó không thỏa mãn tiên đề 2. Expected shortfall thì là một độ đo rủi ro nhất quán.
